[AI Math Basic] 라그랑지안 함수 (Lagrangian Function)

L= objective function+λ(constraint)

목적 : 어떤 제약 내에서 효용의 극대화나 극소화 문제를 풀 때 사용함.
풀이 : λ를 포함한 각 양에 대해 편미분 해서 품.

쉬운 문제의 예시
90만원 예산 내에서 치킨(3만원)과 피자(5만원)의 개수의 곱이 가장 크도록 사야한다.
몇 개씩 사야하는가?

ㆍobjective function 은 개수의 곱이므로 다음과 같이 설정한다.
U(C,P) = c*p 

ㆍ예산 관련식을 작성한다.
3c + 5p = 90

ㆍ이제 Lagrangian 을 사용하면
L = c*p + λ(90 - 3c - 5p)

ㆍ여기서 L을 c, p, λ 에 대해서 편미분.
Lc = p - 3λ = 0
Lp = c - 5λ = 0
Lλ = 90 -3c -5p = 0

ㆍ편미분 한 것을 정리하면
1. c = 5λ
2. p = 3λ
3. 3c + 5p = 90

ㆍ1, 2를 3에 대입하면
3 * 5λ + 5 * 3λ = 90

ㆍ이것을 λ로 정리하면
30λ = 90
∴ λ = 3

ㆍ위 λ 값을 1 과 2 에 대입해 주면
∴ c = 15
∴ p = 9

따라서 치킨은 15개, 피자는 9개를 사면 개수의 곱이 135로 최대가 된다.